Matriu hessiana

En matemàtiques, la matriu hessiana d'una funció f de n variables, és una matriu quadrada n×n amb les segones derivades parcials.

Donada una funció real f de n variables reals

${\displaystyle f(x)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$

Si totes les derivades segones parcials de f existeixen, es defineix la matriu hessiana de f, ${\displaystyle \mathrm {H} f(x)}$, de manera que l'element i,j de la matriu es calcula:

${\displaystyle \mathrm {H} f(x)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

Per tant la matriu hessiana s'escriu de la forma:

${\displaystyle \mathrm {H} f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$

El terme matriu hessiana (o discriminant hessià) va ser introduït pel matemàtic anglès James Joseph Sylvester que les va anomenar en honor del matemàtic alemany Ludwig Otto Hesse. Les matrius hessianes es fan servir normalment per resoldre problemes d'optimització amb funcions de diverses variables.